Die Schönheit im Verborgenen

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Pagurus (selbst gelöschter User)

Die Schönheit im Verborgenen

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Re: Die Schönheit im Verborgenen

Beitrag von Pagurus (selbst gelöschter User) »

Die Schönheit im Verborgenen
( Mandelbrot-Menge, Fraktale, Selbstwiederholung )

Warnung: Wer zu Schläfrigkeit , Narkolepsie, Hypersomnie neigt, sollte diesen Beitrag meiden. Motivierte Leser dagegen werden nach der fachspezifischen Einleitung mit hübschen, bunten Bildchen belohnt. Aber auch konfrontiert mit der drängenden, philosophischen Frage:
War diese verborgene Schönheit schon immer da ?
Lange bevor Menschen sie „entdeckt“ haben. Wer hat diese Schönheit geschaffen ?


Es war um das Jahr 1905, da beschäftigten sich die Franzosen Gaston Maurice Julia (und Pierre Fatou) mit iterativen (auf sich selbst angewendete) Funktionen. (Vermutlich war ihnen gerade schrecklich langweilig ...).
Das Kochrezept dieses rekursiven Algorithmus ist denkbar simpel.
Man nehme eine Zahl z, wende die Funktion f darauf an, auf das Ergebnis wieder f, usw.
z => f(z) => f(f(z)) => f(f(f(z))) => .... ( GÄHN ! )
Bei jeder Iteration entsteht eine weitere Zahl. Diese Zahlen ergeben aufgereiht eine (unendliche) Folge (auch Orbit genannt). Damit es ein wenig spannender wird verwendete Julia komplexe Zahlen. Also diese seltsamen Gebilde, bestehend aus 2 Komponenten, einem Real- und einem Imaginärteil. Damit wurde die Rechnerei aber noch mühsamer.
Abhängig von einem Startwert und einem Parameter c zeigten die so gewonnen Zahlenfolgen extrem unterschiedliche Eigenschaften.
Man beobachtet das „gutmütige“ Verhalten, wobei die Dynamik in gewissem Sinne stabil bleibt und eine kleine Änderung des Startwertes zu fast der gleichen (konvergenten) Folge führt.
Aber auch das chaotische Verhalten, wobei eine noch so kleine Änderung des Startwertes eine komplett andere Folge erzeugt. Die Dynamik hängt „chaotisch“ vom Startwert ab.
Julia interessierte sich für solche Parameter c, die „brave“ Folgen erzeugen, also „beschränkt“ sind und nicht ins Unendliche rauschen. Das ergibt die, nach ihm benannte Julia-Menge.
........
Jahrzehnte laaange Pause
Vermutlich war Julia der Einzige, der sich für so einen Schwachsinn interessierte.
.......
In den 70-er Jahren des letzten Jahrhunderts kamen die ersten Großrechner auf den Markt. Einem Computer wird es niemals langweilig. Der berechnet obige Iteration viele tausend mal ohne (hörbar) zu murren. Es war der IBM-ler Benoît B. Mandelbrot, der diese unerschöpfliche Geduld des armen Blechtrottels schamlos ausnutzte. Mandelbrot erstellte Computerplots der Julia-Menge, um ihre Topologie in Abhängigkeit von dem komplexen Parameter c zu untersuchen. Dabei entdeckte er die Mandelbrot-Menge, die nach ihm benannt ist (wird aufgrund ihes Aussehens auch Apfelmännchen genannt).
Seit Gauß ist es üblich die Menge der komplexen Zahlen in Gestalt einer Zahlenebene zu visualisieren. Wenn man nun (näherungsweise) jeden Punkt der Zahlenebene mit einem Pixel identifiziert, lässt sich die Mandelbrot-Menge wunderbar und farbig darstellen. Mandelbrot-Algorithmus:
Wenn die mit Parameter c generierte Folge beschränkt ist, c also zur Mandelbrotmenge gehört, wird das Pixel schwarz gefärbt, ansonsten weiß. Man kann noch einen Schritt weiter gehen und auch die Punkte welche nicht Element der Mandelbrot-Menge sind farbig markieren. Nämlich abhängig von der Anzahl der Iterationen die erforderlichen sind bis feststeht, dass die Folge nicht beschränkt ist. So entsteht ein „Geschwindigkeitsbild“ : Die Farbe jedes Pixels gibt an, wie schnell die Folge mit dem betreffenden c gegen Unendlich strebt. Es sind viele Milliarden Rechenoperationen erforderlich um so ein Bild zu berechnen, was in einem Menschenleben nicht zu schaffen wäre.
Wie nachstehende Abbildungen zeigt, entstehen Bilder deren Aufbau offenbar einer wunderschönen Gesetzmäßigkeit folgt. Es schlummert hier ein Objekt von unglaublicher Komplexität und Schönheit im Verborgenen. Erst 1979 wurde es von Benoit Mandelbrot sichtbar gemacht.
Auffallend ist die Selbstähnlichkeit. Das ist der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Wer genau hinsieht entdeckt immer noch kleinere Apfelmännchen und das scheint sich bis ins Unendliche fortzusetzen.
Wenn es vor 50 Mio Jahren eine Kultur mit Rechenmaschinen gegeben hätte, dann wäre man vermutlich schon damals auf dieses Phänomen gestossen. Ebenso könnten auf einem Planet im Andromedanebel diese Bilder von Aliens entdeckt werden.
Es ist also eine verborgene Schönheit, die nicht von Menschen gemacht, unabhängig von Zeit und Raum.
Wer hat diese Schönheit geschaffen ?
( Die Story von dem Mann mit dem weißem Bart über den Wolken ist mir zu simpel !)

Folgendes Tutorial aus „professoraler“ Hand erklärt das Thema nochmals. Wem es zu langweilig ist, der kann ab Minute 30 bunte Bildchen gucken.

https://www.youtube.com/watch?v=5TzqfheD3rQ
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Re: Die Schönheit im Verborgenen

Beitrag von El Jardinero »

Ich neige bei solchen Fragen gerne zu antworten: Zufall.
Zumindest kann mir das als Antwort meist nicht widerlegt werden.

Und nur weil das Apfelmännchen sehr komplex aussieht (was es ja eigentlich nicht ist), muss ja nicht auch eine höhere Macht dahinter stehen.

Wenn ich eine Kurve aus 2er Potenzen zeichne, käme bei der Schlichtheit des Ergebnisses ja auch keiner auf die Idee zu sagen:“Ach nein, wie schön...“ 😎

Aber ich weiß noch, wie man wie doof vor seinem ersten Rechner saß (bei mir Sinclair Spectrum und QL) und wie doof 5 Stunden auf den Bildschirm gestarrt hat, bis da eine ordentlich Apfelmenge erschienen war.
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Re: Die Schönheit im Verborgenen

Beitrag von Palmaregi »

Mich faszinieren diese Schönheiten schon seit langem - den mathematischen Grundlagen kann ich leider nicht folgen, aber die Schönheit der Aufnahmen ist großartig!
Ich kenne das unter "Selbstähnlichkeit".
"WAS" auch immer produziert immer und immer wieder, wahrscheinlich unendlich, seine eigene Struktur.

Gute Beispiele, wenn man genau hinsieht, sind z.B. Sonnenblumen oder Romanesco-Broccoli. Oder Schneckenhäuser/Kiefernzapfen! (haben wir hier en masse). usw usw...

Für mich daraus resultierend die Frage der Spirale... das unendliche (?) Leben.
Und die Frage nach dem "WOHER,WARUM, WER"?

Manchmal denke ich , wir alle werden es erfahren, wenn wir diesen wunderbaren Planeten wieder verlassen, vorher nicht.

:confusion-waiting:
Die Natur stellt keine Fragen und beantwortet auch keine. Sie hat längst ihren Entschluss gefasst.
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Re: Die Schönheit im Verborgenen

Beitrag von El Jardinero »

Naja, bei den Natursachen kann ich mir da auch gleich mal widersprechen mit dem Zufallsansatz.
Das ist ja schon verblüffend, taucht letztendlich bei diesen Sachen doch immer der goldene Schnitt, die goldne Zahl und der Name Fibonacci auf.

Eine schöne Zusammenfassung findet man u.a. dazu hier:

https://www.was-darwin-nicht-wusste.de ... ungen.html
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Re: Die Schönheit im Verborgenen

Beitrag von Pagurus (selbst gelöschter User) »

El Jardinero hat geschrieben: Fr 29. Nov 2019, 22:46 Naja, bei den Natursachen kann ich mir da auch gleich mal widersprechen mit dem Zufallsansatz.
Das ist ja schon verblüffend, taucht letztendlich bei diesen Sachen doch immer der goldene Schnitt, die goldne Zahl und der Name Fibonacci auf.

Eine schöne Zusammenfassung findet man u.a. dazu hier:

https://www.was-darwin-nicht-wusste.de ... ungen.html
Ja, Phi und die Fibonacci-Zahlen, darüber habe ich auch schon gestaunt.
Das Bildungsgesetz der Fibonacci-Folge ist ja an Schlichtheit kaum zu übertreffen
(jede Zahl ist die Summe der beiden Vorgänger), aber die Resultate sind verblüffend.

Dem Administrator sei Dank für seinen Großmut, der mich hier austoben lässt, mit meinem Orchideenfach.
Denn mit La Palma hat das wahrlich nichts zu tun ( allerdings auch mit keinem anderern Ort auf dieser Welt ... )
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Re: Die Schönheit im Verborgenen

Beitrag von Pagurus (selbst gelöschter User) »

El Jardinero hat geschrieben: Fr 29. Nov 2019, 17:46 Ich neige bei solchen Fragen gerne zu antworten: Zufall.
Zumindest kann mir das als Antwort meist nicht widerlegt werden.
Vielleicht sind Begriffe wie „Zufall“ oder „Chaos“ nur Synonyme für sehr komplexe, kausale Zusammenhänge, die wir noch nicht verstanden haben.
El Jardinero hat geschrieben: Fr 29. Nov 2019, 17:46
Aber ich weiß noch, wie man wie doof vor seinem ersten Rechner saß (bei mir Sinclair Spectrum und QL) und wie doof 5 Stunden auf den Bildschirm gestarrt hat, bis da eine ordentlich Apfelmenge erschienen war.
Hast du das Programm für die Berechnung des Apfelmännchens selbst geschrieben ? In welcher Sprache ?
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Re: Die Schönheit im Verborgenen

Beitrag von El Jardinero »

Wenn ich mich recht entsinne gab es auf den Rechnern eine BASIC Variante, SUPER-BASIC genannt.
Später bin ich dann zu PASCAL gewechselt weil das doch noch deutlich leistungsfähiger war.
Obwohl man sagen muss, dass das Super Basic, gemessen an anderen seinerzeit verfügbaren Varianten auf anderen Rechnern, schon recht brauchbar war.
Und eigentlich war der QL mit dem Motorola 68008 Prozessor der leistungsfähigste Rechner dieses Segmentes, hat sich aber nicht durchsetzen können.

Na und den Apfelmännchencode den hat man irgendwo gelesen und dann umgesetzt, näheres habe ich natürlich vergessen , das ist 35 Jahre her.
Ich weiß nur noch, dass es einen Assembler Code gab, der malte einem hochauflösend eine rot-weiß karierte Glaskugel auf eine Glasfläche, Berechnung Pixel für Pixel, Zeile für Zeile, Dauer ca. 5 Stunde.
Obwohl man wusste, wie das Ergebnis aussehen würde, hat man da faziniert 5 Stunden immer wieder draufgeguckt, und am Ende konnte man es noch nicht mal speichern, aber, ich schweife ab.....
Saludos desde el Sauerland
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